1. Eventi e probabilità
In prima approssimazione, un evento è qualcosa che può accadere oppure no ("domani piove", "il sensore supera una certa soglia"). Una probabilità P(A) è un numero tra 0 e 1 che misura quanto riteniamo plausibile l'evento A.
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 per ogni evento A;
- P(evento certo) = 1, P(evento impossibile) = 0;
- se A e B sono incompatibili, allora P(A o B) = P(A) + P(B).
Già a questo livello, probabilità significa tradurre informazione qualitativa ("molto probabile", "raro") in numeri che possiamo usare in modelli e algoritmi.
2. Variabili aleatorie discrete
Una variabile aleatoria X è una grandezza che può assumere diversi valori con certe probabilità. Nel caso discreto, elenchiamo i possibili valori x_i e le corrispondenti probabilità p_i.
- X può assumere i valori {1,2,3,4,5,6};
- P(X = k) = 1/6 per k = 1,2,3,4,5;
- P(X = 6) = 1/6 + 0.05 = 0.2166... (leggermente favorito).
La somma delle probabilità deve sempre dare 1. Nel caso sopra possiamo correggere leggermente le altre probabilità per mantenere il totale esattamente pari a 1.
3. Media e varianza con un esempio
La media E[X] di una variabile aleatoria è il valore "medio" che ci aspettiamo, mentre la varianza Var(X) misura quanto X tende a deviare dalla media.
- Media: E[X] = somma su i di x_i · p_i;
- Varianza: Var(X) = E[(X - E[X])^2].
Esempio numerico semplice: supponiamo che X rappresenti il numero di richieste arrivate a un server in un minuto, con la seguente distribuzione approssimata:
- X = 0 con probabilità 0.1;
- X = 1 con probabilità 0.3;
- X = 2 con probabilità 0.4;
- X = 3 con probabilità 0.2.
In un notebook Python, la stessa media si calcola facilmente con una lista di valori e una di probabilità, e questo collega immediatamente la teoria ai dati misurati.
4. Densità continue e distribuzione normale
Quando una grandezza può variare in modo continuo (come una temperatura o una tensione), la descriviamo con una densità di probabilità invece che con una semplice tabella di valori.
In pratica, per un sensore di temperatura potremmo assumere che l'errore di misura sia approssimativamente normale con media 0 e una certa deviazione standard, e usare questa ipotesi nei modelli di filtraggio o nelle stime di incertezza.
5. Collegamento con dati e machine learning
In ML e statistica applicata, la probabilità serve per modellare il rumore nei dati e per esprimere incertezze sulle stime. Anche quando non scriviamo esplicitamente P(X) o densità, molti algoritmi hanno una lettura probabilistica.
- un modello di regressione lineare con rumore gaussiano sui dati di output;
- un classificatore che approssima P(classe | caratteristiche) per prendere decisioni;
- filtri che combinano misure rumorose e modelli dinamici (come in un filtro di Kalman).
Nelle pagine dedicate alla statistica e ai processi aleatori potremo entrare nel dettaglio di come si stimano media, varianza e altre quantità da dati reali, con esempi numerici in Python.